Números Compuesto
Todo número
natural no primo,
a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más
divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para
referirse a estos números.
Los 30 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44 y 45.
Una característica de los números compuestos es que cada uno puede escribirse como
producto de dos naturales menores
que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4×5; y
también el 87 ya que se expresa como 3×29. Sin embargo, no es posible hacer lo
mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. Cada número compuesto se puede expresar como
multiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo proceso se
conoce como factorización.
El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor
que todos los
demás; hay infinitos números compuestos.
La forma más
sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 y n (1 < d < n).
Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371
porque tiene a 7 por divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo
para números que son producto de primos grandes. Una buena alternativa es
utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat,
o mejor lageneralización de este teorema debida al matemático
suizo Leonhard Euler.
Como los números primos y compuestos están
entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán secuencias de
números compuestos consecutivos de longitud arbitraria.
La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116,
117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud 13. La
respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan
larga como se desee. Si deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los
números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero es divisible por
2, el segundo por 3, etcétera.
Un teorema de Fermat afirma
que si p es primo de la forma 4n+1,
entonces se da un caso de exclusión simple, que puede expresarse de forma única
como suma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como
suma de dos cuadrados de dos formas diferentes al menos, entonces el número es
compuesto. Euler halló un método de factorización a partir de este hecho. Por ejemplo,
si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entonces, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11,
10+5) = mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) =
17 nos da el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y no se
consideran ni primos ni compuestos.
